No sé si me he explicado bien.
Weewx puede enviar datos a influxdb, a MQTT, por FTP, por FTPS, por SFTP, Rsync, etc, etc, etc, y además a multitud de servicios meteorológicos web de todo el mundo. Meteoclimatic no está entre ellos de forma directa, pero sí por FTP, FTP o SFTP o bien mediante la utilidad de envío en PHP o Python. La flexibilidad es máxima.
En tu caso lo más lógico sería que Weewx envíe por MQTT y que Home Assistant, mediante la integración MQTT lea los datos del broker correspondiente y luego envíe los datos a influxdb.
En cuanto a la base de datos, pues depende.
Weewx usa de forma nativa Sqlite3. Con este gestor de base de datos, el tamaño de mis datos es de unos 200 MBytes tras 10 años de registros cada 5 minutos.
Pero Weewx puede usar Mysql. Si tú usas Mysql en Home Assistant (yo uso la base de datos por defecto) creo que podrías compartir la base de datos entre ambos software (ojo, no estoy seguro
)
Otra posibilidad que tienes es que como usas una estación Fine Offset, en lugar de enviar a atmos.cat en el "customized server", lo hagas al propio Home Assistant. Y luego envias los datos a Meteoclimatic con los datos de Home Assistant (yo no tendría ni idea de como hacerlo). Ahí no necesitas Weewx sino que lo gestionas todo desde Home Assistant
Te dejo unos pantallazos de como se integra una Fine OffSet (Ecowitt, Sainlogic, etc, etc) en Home Assistant.